Cikkemben a prímszámok eloszlásáról lesz szó az egész számok között. Ha valakinek nem ugrana be, a prímszám olyan egynél nagyobb egész, amelynek csak két osztója van (egy és önmaga). Euklidész bizonyította be először, hogy végtelen sok van belőlük. Érdekesebb kérdés lehet azonban az, hogy egy adott intervallumon mennyien vannak. Ezt fogjuk megnézni.

Gauss sejtése:

Gauss 15 éves korában sejtette meg a később prímszám-tételnek nevezett összefüggés egy ekvivalens formáját. Azt mondta, hogy egy adottintervallumon körülbelülprímszám van.

Aki nem ismerné, „ln” a természetes logaritmust jelöli, azt a logaritmust, melynek alapszáma az Euler-féle szám.

Nézzünk egy példát!

Azintervallumon például 24 prím van. Helyettesítsünk Gauss képletébe:

Látható, hogy jó közelítést kaptunk a 120 és a 255 közti prímek számára. Gauss képlete egyébként kisebb intervallumokra pontosabb. Az intervallumok használata helyett most vezessünk be egy függvényt, melyet jelöljünk -el. Ez a függvény adja meg az x-nél nem nagyobb prímszámok számát, azaz azt, hogy az adott x számig hány prím van (Ha x maga is prím, akkor őt is beleszámolja.).

Nézzünk egy példát!

mert 13-ig 6 prímszám van: 2, 3, 5, 7, 11 és maga a 13. Nyílván 16-ig is 6 darab van, hiszen a 7. prím a 17, azaz .

Gauss sejtését tehát így írhatjuk:

Ebből a képletből megkaphatjuk a függvény közelítő képletét is, ha elvégezzük a helyettesítést. Nulláig ugyebár 0 prím van, azaz:

Ebből azt kapjuk, hogy. Mivel x növekedésével az intervallum egyre nő, az elkövetett abszolút hiba (A két kifejezés különbsége.) is egyre nagyobb lesz.

Prímszám-tétel:

Az előzőekben kapott közelítésről tesz megállapítást a prímszám-tétel, kimondja, hogy a képlettel elkövetett relatív hiba egyre csökken, ahogy x egyre nő, azaz

A relatív hiba tehát egyre jobban megközelíti a nullát, ahogy növeljük az x számot. Ezt a jelenséget aszimptotikus egyenlőségnek nevezzük, és egymásra nézve aszimptotikusan egyenlő, jelölésben:

Ezt az állítást először J. Hadamard és Ch.J. de la Vallée-Poussin bizonyította egymástól függetlenül 1896-ban. Készítettem egy táblázatot, amelyben 10 néhány hatványán keresztül mutatom be a relatív hiba csökkenését.

Látható az is, hogy ésközti különbség (abszolút hiba) viszonylag nagy. A következőkben a közelítés pontosabbá tételét nézzük majd meg.

A második prímszám-tétel:

A pontosabb képlet megtalálásához szükségünk lesz újra a Gauss-féle intervallumközelítésre. Említettem, hogy a formula kisebb intervallumokra pontosabb eredményt ad. Az intervallumok hossza most legyen 1000, ezt a beosztást mutatja a következő ábra 10000-ig:

Szűkítsük tovább az intervallumokat, úgy, hogy a különbség 1 legyen, azaz:

. Ha egy bizonyos x-ig összeadjuk a téglalapok területeit, akkor megkapjuk közelítő értékét. Ezek a téglány-összegek azonban nagyon jól közelítik

függvény alatti görbét a = 2-től x-ig (a = 1-re nincs értelme a kifejezésnek).

Ez a függvény sokkal jobban megközelíti -et, mint. Az aszimptotikus egyenlőség itt is fennáll, ez a második prímszám-tétel. Nézzünk egy példát a közelítés pontosságára:

A Li(x) függvénnyel sokkal pontosabb eredményt kaptunk. Egy érdekes megoldatlan matematikai probléma kapcsolódik a 2. prímszám-tételhez, nevezetesen az, hogy körülbelül az általa szolgáltatott jegyek fele megegyezik a valódi értékkel, ez az előző példából is látható. Pontosabban fogalmazva:

Itt a valamilyen pozitív valós szám. Ez a híres Riemann-féle sejtés egyik ekvivalens formája, amelyet máig nem sikerült megoldania a matematikusoknak. Egyébként egy nagy számig a logaritmikus integrál nagyobb, mint a , van egy pont, ahol egyenlők, majd nagyobbá válik.